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De la Realidad a la Matemática

 

 

Por: Beatriz Loubet

Profesora Titular Investigación Operativa

Facultad de Ciencias Económicas

Universidad Nacional de Cuyo

Mendoza - Argentina

 

A OJO DE BUEN CUBERO

 

A mediados de marzo decidimos en casa cubrir una parte del terreno con piso de ladrillos. Llamamos a Ariel, un joven de 23 años que es medio oficial albañil, para que hiciera el trabajo. ¿Cuántos ladrillos tendríamos que comprar?

-Con mil ladrillos le sobra- Dijo Ariel mientras miraba el terreno entrecerrando los ojos.

Después de que se fue, medimos el terreno y la superficie de un ladrillo con sus juntas, sacamos cuentas, y en realidad hacían falta 1200 ladrillos.

Lo que sorprende en Ariel es la actitud: sólo con mirar él pretendió sacar la cuenta. No se le ocurrió medir ni calcular. Claro, es posible que haya visto a otros, más expertos que él, que hacen lo mismo, y que la cuenta les sale bien.

Esta no es solamente una anécdota. Es una muestra -de tantas- de que la matemática, para Ariel, fue sólo una cuestión escolar.

Hay distintos tipos de problemas de matemática, no todos tomados de la realidad, y que son útiles para distintas instancias de la enseñanza. Tenemos situaciones problemáticas para la producción de nuevos conceptos, problemas de aplicación de conceptos adquiridos, ejercicios de reforzamiento de técnicas, y muchos otros más. Pero no pueden soslayarse los problemas reales, y especialmente aquéllos con los que comúnmente se enfrentarán los alumnos en la vida diaria. Afortunadamente, la tendencia actual de la enseñanza de la matemática, es vincularla con problemas reales. Sin embargo, como veremos, este camino no tiene nada de sencillo.

 

PLANTEAR PROBLEMAS

 

Los enunciados de problemas de matemática que se les da a los alumnos se escriben en su lenguaje materno o lenguaje natural.

Para resolverlos, los alumnos deben frecuentemente pasar al lenguaje matemático correspondiente, un lenguaje simbólico. Por ejemplo, en un problema de lógica, deberán reconocer los conectores lógicos y, o, ni, no, y otros, y las proposiciones, a las que se les asignan símbolos. Luego deberán resolver utilizando las leyes de lógica formal, y finalmente, traducir nuevamente a lenguaje natural la conclusión.

En otros casos, se plantea al alumno un problema que puede resolverse con ecuaciones. Por ejemplo, «La edad del padre es el doble de la edad del hijo. Si el padre tenía 24 años cuando nació el hijo, ¿Qué edades tienen cada uno? » Las dos incógnitas pueden fácilmente encontrarse planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y luego resolviendo el sistema.

Veamos otro caso. «Los ingresos por ventas se obtienen multiplicando por 3 las unidades vendidas. Los costos, en cambio, son iguales a 100 si no se vende nada y el costo por cada unidad es de $1 ¿Cuál es la cantidad de unidades vendidas para la cual los ingresos son iguales a los costos (punto de equilibrio)?». Este problema se resuelve escribiendo las funciones de costo y de ingresos por ventas, igualando ambos, y luego despejando la cantidad de unidades vendidas.

En todos estos casos, y en muchos de los «problemas de matemática», se debe interpretar el enunciado escrito en lenguaje materno o natural, para luego re-escribirlo en un lenguaje simbólico, y finalmente resolver.

Antes de ver las posibles dificultades de esta traducción, comentaremos algunas características del lenguaje natural y del lenguaje simbólico.

 

LENGUAJE NATURAL

 

El lenguaje natural nació como medio de comunicación. Está relacionado con el mundo en que vivimos, con la realidad, con la cultura del medio en que nos desenvolvemos. Lo utilizamos en situaciones tan disímiles como dar órdenes, declarar nuestro amor, escribir textos científicos, contar lo que nos ocurrió en el día, hacer poemas, recetas de cocina, describir la realidad y la ficción. "El hablar es hablar de hombres, hecho por hombres para comunicarse con otros hombres, a la manera de los hombres y acerca de lo que a ellos les atañe" (Gómez Macker, 1998, p. 80)

Es entonces, tan rico y complejo como los seres humanos, y no debe sorprendernos, por tanto, las dificultades en la comprensión de textos, ya que significa comprender a otros, pues "...el significado no está en los sonidos o las letras, sino en la mente de quien los produce o los percibe." (Gómez Macker, 1998, p.69).

Por otro lado, cualquier texto es necesariamente incompleto. El autor calla aquello que supone sabido por el lector. Por un principio de economía, relata sólo las claves para ser comprendido. Sabe que "sólo lo nuevo, lo desconocido resulta interesante o informativo" (Gómez Macker, 1998, p.71). Hay más de implícito en un texto que de explícito. Naturalmente, esto puede llevar a malentendidos, si la base de conocimientos del lector no es la que el autor esperaba.

Por último, el sentido de una frase puede cambiar según el contexto en que se exprese. Esto lo saben muy bien los autores de teatro, que detallan el ambiente y el estado de ánimo de los personajes junto con los diálogos.

 

LENGUAJE SIMBÓLICO

 

Así como el lenguaje natural está orientado a la comunicación, el lenguaje simbólico de la matemática, en cambio, está orientado a la operatoria. Obsérvese qué fácilmente se puede manipular una ecuación, por ejemplo.

Despejar x de una ecuación, se hace con pasos mecánicos, e independientemente de que x represente una edad, el largo de una mesa, el costo de fabricación de un producto, o la distancia de un planeta al sol. Esta abstracción es la fuente del poder de la matemática, y de la ciencia en general, ya que el objetivo de las ciencias es adquirir conocimientos sobre verdades generales, y no sobre casos particulares. Pero para generalizar, es necesario abstraer.

El significado de las afirmaciones matemáticas es unívoco y no depende de un contexto. No hay dudas sobre el significado de lo que está escrito. Su sentido es único, y fácilmente interpretado de la misma forma por distintas personas. Sus símbolos no designan elementos concretos, sino entes abstractos. Tanto es así, que puede resolverse un ejercicio de matemática sin saber de qué cosa, concretamente, estamos hablando. Es más, lo más probable es que no exista una realidad acerca de la cual estamos hablando. Es interesante al respecto, el siguiente párrafo de Bertrand Russell (1985, p.79)

"La matemáticas puras constan exclusivamente de aserciones en el sentido de que si tal y tal proposición es verdadera con respecto a cualquier cosa, entonces tal y tal proposición distinta es verdadera con respecto a esa cosa. Resulta esencial no discutir si la primera proposición es realmente cierta, y no mencionar qué es esa cosa cualquiera de la que se supone que es verdad. (...) Escogemos entonces cualquier hipótesis que nos parezca divertida y deducimos sus consecuencias. Si nuestra hipótesis trata de cualquier cosa, y no de una o más cosas particulares, entonces nuestras deducciones constituyen las matemáticas. Por consiguiente, estas últimas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de qué estamos hablando ni si lo que estamos diciendo es verdad."

Los objetos matemáticos son entonces entes totalmente abstractos, sin una relación necesaria con el mundo real, que sólo tienen existencia en las mentes de los seres humanos, y el lenguaje simbólico de la matemática está hecho a la medida de la matemática pura.

Tal vez nos ocurra que estamos tan acostumbrados a ver triángulos, ecuaciones, funciones, proposiciones, que no nos damos cuenta de que sólo son representaciones de objetos abstractos, y no los objetos mismos.

 

RELACIONANDO AMBOS LENGUAJES

 

En la teoría de Articulación entre Registros de R. Duval (1995), se señala la importancia de "desprenderse" de una forma de expresión, o registro, para poder comprender un objeto matemático. En efecto, si los entes matemáticos son abstractos, será indispensable, para reconocerlos, distinguir entre el objeto y su representación.

En el trabajo de Pluvinage (1998), se afirma que "un objeto matemático debe su existencia a cambios en los registros de expresión, al menos entre dos de ellos, entre los que se suele contar corrientemente: registro de la lengua natural, registro algebraico, registro de figura geométrica, y registro gráfico de funciones."

Es interesante en este trabajo el esquema que propone para la articulación entre registros de expresión, que copiamos aquí:

 

 

 

En este esquema, el representado o concepto aparece fuera del plano, donde se ubican las distintas representaciones.

Para poder acceder al representado, es indispensable que el alumno realice tratamientos, es decir, transformaciones u operaciones dentro de cada registro de expresión. Los tratamientos están representados por las flechas horizontales curvas. Pero además, es indispensable que el alumno efectúe conversiones entre distintos registros, representados por las flechas horizontales rectas. Sólo así, se podrá distinguir entre el objeto matemático y la representación. En efecto, afirma Duval (p.60): "Es necesario que un sujeto haya llegado al estadio de la coordinación de representaciones semióticamente heterogéneas, para que pueda discriminar entre el representante y el representado, o la representación y el contenido conceptual que esta representación expresa o ilustra."

El cambio o conversión de un registro de representación a otro, de ninguna manera es una tarea sencilla. "La conversión constituye la actividad menos espontánea y más difícil de adquirir para la gran mayoría de los alumnos." (Duval, p.155).

Podríamos pensar que el pasaje de un enunciado de un problema escrito en lenguaje natural a un lenguaje simbólico para su resolución trata solamente de una de las tantas posibles conversiones entre registros. Sin embargo, veremos que es aún más problemático.

Precisemos primero qué es un cambio entre registros: "La conversión es la transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una información dada en un registro, en una representación de este mismo objeto, esta misma situación o de la misma información en otro registro." (Duval, p.44)

En esta definición, se habla del "mismo objeto", "la misma situación", o de la "misma información". Pero un problema real trata de objetos reales, con características medibles, observables y contrastables por nuestros sentidos. Al escribir un planteo en lenguaje simbólico, estamos tomando sólo algunas características de dichos objetos reales, y pasamos a otro mundo, el de los entes abstractos, no observables, cuyos símbolos hacen referencia a otros objetos, que pertenecen a la matemática pura.

Al escribir en notación matemática simbólica el planteo de un problema real lo que estamos haciendo es un modelo matemático. Veamos al respecto la definición de Delgado Rubí (1997, p.78): "MODELAR es asociar un objeto no matemático a un objeto matemático que represente determinados comportamientos, relaciones o características suyas". Estamos entonces asociando objetos de mundos y naturalezas completamente distintas.

Observemos nuevamente el esquema anterior, para notar que, en éste, no está presente algo fundamental de la resolución de problemas reales: la realidad. En efecto, ya que lo que se intenta es captar el concepto de un objeto matemático, que es necesariamente abstracto, la realidad queda fuera de lugar.

El enunciado de un problema hace referencia a objetos reales, situados dentro de un mundo real, o imaginario pero factible de ser real. El modelo matemático, en cambio, hace abstracción de los objetos reales, para representar sólo algunas cantidades y sus relaciones. El modelo toma una realidad reducida, limitada, es la realidad tan disminuida que sólo tiene entes abstractos. Pero, ¿para qué el modelo, si es menor, dice menos, es más pobre? Simplemente porque con él podemos resolver (efectuar tratamientos) de manera más cómoda, sencilla y con menos margen de error.

Veamos otro esquema, propuesto por Weatherford (2000, p.5) especialista en modelos para Administración de Empresas sobre la resolución de problemas:

 

En este esquema se muestra la división entre el Mundo Simbólico y el Mundo Real. Se resalta también que el objetivo es tomar Decisiones, que se pueden tomar directamente, usando la Intuición. Pero por otro lado, usando Abstracción, podemos generar un Modelo; por medio del Análisis se llega a Resultados, e interpretándolos llegamos a tomar Decisiones. Obsérvese el lugar preponderante, central, que tiene el Sentido Común.

¿Cómo podemos agregar el mundo real en el primer esquema, para hacerlo actuar en la resolución de problemas reales? En primer lugar, debemos considerar los tres mundos que están presentes en la resolución de estos problemas: el mundo ideal o de los objetos matemáticos; el mundo de las representaciones, donde estará ubicado el enunciado del problema y su modelo matemático, frecuentemente escrito en lenguaje algebraico, y por último, el mundo real, con sus objetos concretos. El lenguaje que tiene más afinidad con el mundo real, es el lenguaje natural. Es el lenguaje con el que naturalmente describimos los que nos rodea. Es por esto que el problema se describe en lenguaje natural: el enunciado. Una vez resuelto, es conveniente "traducir en palabras", lo que implica una nueva conversión, la solución encontrada.

Agregando el mundo real, proponemos entonces el siguiente esquema:

 

En este esquema, se ha reemplazado el "Representante del Registro A" por "Enunciado del problema". Obsérvese que el enunciado no es el problema real, sino un modelo verbal. También se ha reemplazado "Representante del Registro B" por "Modelo matemático".

 

PROBLEMAS REALES

 

Hemos distinguido entre el enunciado de un problema y el problema real. Y es que la realidad nos obliga a considerar situaciones que, lamentablemente, suelen estar afuera de la matemática escolar. Para constatar esto, baste un ejemplo: Recordemos el problema de Ariel, que debe calcular cuántos ladrillos hacen falta para cubrir un terreno.

En primer lugar, Ariel debe medir el terreno, que tiene una forma que jamás vio en sus clases de geometría. Para colmo, como todo instrumento de medición tiene errores, él obtiene una medida aproximada de la superficie a cubrir. En la medición, él utiliza el centímetro como mínima unidad de medida: redondea. Los ladrillos son todos diferentes, aproximadamente de 25 cm. por 12,5 cm. Supone, para sus cálculos, que todos los ladrillos son iguales y de esa medida: generaliza. Debe considerar las juntas, que supone que serán todas iguales y de 1 cm. Con esto ha obtenido un "ladrillo ideal" (abstraído) de 26 cm. por 13.5 cm. Luego, divide la superficie a cubrir por la superficie de cada ladrillo con sus juntas, y llega a la cantidad de ladrillos. Pero se equivoca al sacar las cuentas, y obtiene 117453, una cantidad disparatada. El sentido común le dice que algo anduvo mal y vuelve a calcular, obteniendo 1174,53. Este número puede ser correcto matemáticamente, pero absurdo para encargar ladrillos, así que redondea a 1200. Finalmente, agrega un porcentaje más para roturas, bordes en los que sólo sirve una parte del ladrillo, y para que "no vayan a faltar, después de todo, el ladrillo es barato y conviene que sean de la misma partida, porque si después hay que comprar más, no vienen del mismo color y van a verse mal". Esto último, que pocos alumnos comprenden, es la esencia de la utilización de un modelo: no toda la información de un problema real cabe en un modelo matemático, así que no podemos obedecer a la solución, sino tomarla como una guía para la decisión, de la compra de ladrillos en este caso.

La realidad es muy compleja, y no siempre es fácil formular un modelo. Veamos lo que dice Forrester (1961, p.49), el creador de la Dinámica de Sistemas, al respecto: "Una imagen mental o una descripción verbal pueden formar un modelo de la organización y de sus procesos. El gerente trabaja continuamente con estos modelos mentales y verbales de la empresa. Ellos no representan a la auténtica organización y no necesariamente son correctos, sino que sustituyen en el pensamiento al sistema real que está siendo representado."

El modelo no se hace a partir de la realidad, sino de la imagen mental que tenemos sobre la realidad. Los modelos son una forma de comprender al menos una parte de la realidad, y decimos al menos una parte pues, como señalan Martínez y Requena (1986, p.21): "La realidad es lo que es. Por tanto, es complicada e incomprensible"

Para formular un buen modelo, es necesario saber no sólo matemáticas, sino también conocer y comprender la realidad del problema que se trata, tener una «imagen mental» lo más completa posible. En caso contrario, es muy probable que resolvamos bien el modelo incorrecto.

 

SENTIDO COMÚN Y RAZÓN

 

Resolver problemas reales es salir del fácil y límpido mundo de la matemática. Hay que suponer, aproximar, obtener datos, mediciones, abstraer, «ensuciarse las manos», y en cada etapa, el sentido común ha de ser el que gobierna la acción. En matemática pura, en cambio, el sentido común está fuera de lugar. En efecto, es fuente de equívocos: el sentido común nos dice que si a un conjunto cualquiera le quitamos la mitad de sus elementos, nos queda un conjunto menor. Pero, ¿y si el conjunto es infinito?. También es de sentido común que después de todo número hay un número siguiente. ¿Y en los números reales? Lo que debe gobernar la acción en matemática pura es la razón, no el sentido común.

Es bueno que el profesor de matemáticas, en clases de matemática pura, enseñe a sus alumnos a desconfiar del sentido común. Pero también es bueno que hayan clases de matemáticas aplicadas, donde se muestre el rol del sentido común, como control permanente de resultados parciales o finales de los problemas.

 

CONCLUSIONES

 

Los puntos de vista de la matemática pura y de la matemática aplicada son completamente diferentes. Casi podríamos decir que opuestos. En una, la realidad simplemente no existe. En la otra, en cambio, es quien manda.

Construir un modelo para resolver un problema real no es articular dos registros. Es articular objetos de naturaleza completamente diferentes: los concretos del mundo real y los abstractos del mundo ideal de la matemática.

Enseñar a resolver problemas reales implica aproximarse a otras ciencias, de las cuales muchas veces el profesor de matemática nada sabe. Está lleno de desafíos, y es involucrarse en actividades que no son las habituales del pizarrón. También nos lleva a ser alumnos de nuestros alumnos, puesto que el mundo real es tan complejo, que cualquiera puede dar la pista para un modelo. Y a veces los alumnos de menor rendimiento académico son los más ingeniosos.

Pero es la oportunidad de relacionar la matemática con las otras materias, inclusive de hacer una puesta en común, de acuerdo con otros profesores.

Y es dar respuesta a la eterna pregunta: "¿para qué sirve?".

 

BIBLIOGRAFÍA

 

  1. Duval, Raymond (1995) Semiosis y Pensamiento Humano, Universidad del Valle, Santiago de Cali.
  2. Forrester, Jay (1961), Dinámica Industrial, Ateneo, Buenos Aires.
  3. Hernández Fernández, Herminda; Delgado Rubí, Juan R. y Fernández de Alaiza, Bertha (1997). Cuestiones de Didáctica de la Matemática. Homo Sapiens. Rosario. Argentina.
  4. Martínez, Silvio y Requena, Alberto. (1986). Dinámica de Sistemas. Alianza Editorial. Madrid.
  5. Peronard Thierry, Gómez Macker, L.A.; Parodisucis, G.; Núñez Lagos, P. (1998) Comprensión de textos escritos, de la teoría a la sala de clases. Editorial Andrés Bello, Santiago de Chile.
  6. Pluvinage, François, (1998) La nature des objets mathematiques dans le raisonement, Annales de Didactique et de Scienes Cognitives. IREM de Strasbourg.
  7. Russell, Bertrand. (1987) Misticismo y lógica y otros ensayos. Edhasa. Barcelona.
  8. Eppen, G.D., Gould F.J., Smith, C.P., Moore, J.H., Weatherford, L.R. (2000) Investigación de Operaciones para la Ciencia Administrativa. 5ta. edición. Prentice Hall. México